题目

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且acosC+asinC=b+c， （1）求角A的值； （2）若a=2，求△ABC面积的最大值． 答案：考点： 余弦定理；正弦定理． 专题： 解三角形． 分析： （1）已知等式利用正弦定理化简，整理并利用两角和与差的正弦函数公式变形，根据sinC不为0变形后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值求出A的度数即可； （2）由余弦定理列出关系式，把a，cosA的值代入并利用基本不等式求出bc的最大值，进而确定出三角形面积的最大值． 解答： 解：（1）已知等式acosC+asinC=b+c， 利用正弦定理化简得：sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC， 整理得：sinAsinC=cosAsinC+sinC， ∵sinC≠0，∴sinA﹣cosA=1，即sin（A﹣）=， ∵A∈（0，π），∴A﹣∈（﹣，）， ∴A﹣=，即A=； （2）由余弦定理得：a2=4=b2+c2﹣2bccos，即4+bc=b2+c2≥2bc， ∴bc≤4， ∴S△ABC=bcsinA=bc≤，当且仅当b=c=2时取等号， 则△ABC面积的最大值为． 点评： 此题考查了正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

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