题目

甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． （Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率； （Ⅱ）用X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的分布列和数学期望． 答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式． 【专题】应用题；概率与统计． 【分析】（I）令A1表示第2局结果为甲获胜，A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负，A表示第4局甲当裁判，分析其可能情况，每局比赛的结果相互独立且互斥，利用独立事件、互斥事件的概率求解即可． （II）X的所有可能值为0，1，2．分别求出X取每一个值的概率，列出分布列后求出期望值即可． 【解答】解：（I）令A1表示第2局结果为甲获胜．A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负．A表示第4局甲当裁判． 则A=A1•A2，P（A）=P（A1•A2）=P（A1）P（A2）=； （Ⅱ）X的所有可能值为0，1，2．令A3表示第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜．B1表示第1局结果为乙获胜，B2表示第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜，B3表示第3局乙参加比赛时，结果为乙负， 则P（X=0）=P（B1B2）=P（B1）P（B2）P（）=． P（X=2）=P（B3）=P（）P（B3）=． P（X=1）=1﹣P（X=0）﹣P（X=2）=． 故X的分布列为 X 0 1 2 P 从而EX=0×+1×+2×=． 【点评】本题考查互斥、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识解决问题的能力．

查看本题答案和解析