题目

求证△ABC的三条高线交于一点. 答案： 思路分析1：假设两条高线交于一点，证明另一条高线也经过此点.证法1：如上图，已知AD、BE、CF是△ABC的三条高.设BE、CF交于H，且令=b，=c，=h，可得=h-b，=h-c,=c-b.∵⊥,⊥,∴(h-b)·c=0,(h-c)·b=0.∴(h-b)·c=(h-c)·b.运算并化简得,h·(c-b)=0.∴⊥.∴AH与AD重合.∴AD、BE、CF相交于一点H.思路分析2：在△ABC中任取一点P，设PA⊥BC，PB⊥AC,证明PC⊥AB即可.证法2：如上图，设P为△ABC内一点，令=a，=b，=c.则=b-a，=c-b,=a-c.当PA⊥BC，PB⊥时，有a·（c-b）=0,b·（a-c）=0.也就是a·c-a·b=0.                                                               ①b·a-b·c=0.                                                                     ②①+②得a·c-b ·c=0,∴(a-b)·c=0.∴⊥.

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