题目

过抛物线y2=2px(p＞0)上一定点P(x0,y0)(y0＞0)作两条直线分别交抛物线于A（x1,y1）、B(x2,y2). (1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离； （2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数. 答案：(1) 点M(,)到F的距离为-(-)=. (2)证明见解析 解析:（1）当y=时，x=. 又抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-, 则点M(,)到F的距离为-(-)=. (2)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB. 由y12-y02=2p(x1-x0), 则kPA=(x1≠x0). 同理,得kPB=(x2≠x0). 由PA、PB的倾斜角互补知kPA=-kPB, 即=-, 即y1+y2=-2y0,故=-2. 设直线AB的斜率为kAB. 由y12-y22=2p(x1-x2), ∴kAB=(x1≠x2). 将y1+y2=-2y0(y0＞0)代入上式得 kAB=.(P(x0,y0)为一定点,y0>0) 则kAB=-为非零常数.

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