题目

(本小题满分12分) 如图，PC⊥平面ABC，PM∥CB，∠ACB＝120°，PM＝AC＝1，BC＝2，异面直线AM与直线PC所成的角为60°. （Ⅰ）求二面角M－AC－B大小的正切值； （Ⅱ）求三棱锥P－MAC的体积.   答案：（1）（2） 解析:方法一：（Ⅰ）取BC的中点N，连结MN. 由已知，PMCN，则MNPC，所以MN⊥平面ABC.                            过点N作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连结MH， 由三垂线定理知，AC⊥MH. 所以∠MHN为二面角M－AC－B的平面角.                                 (3分) 连结AN，在△ACN中，由余弦定理，得. 由已知∠AMN＝60°，在Rt△ANM中，.                   (6分) 在Rt△CHN中，.                                       在Rt△MNH中，. 故二面角M－AC－B的正切值是.                                          (8分) （Ⅱ）因为四边形PCNM为正方形，MN⊥平面ABC，则 .      (12分) 方法二：（Ⅰ）在平面ABC内，过点C作CB的垂线， 按如图所示建立空间直角坐标系.                                 (1分) 设点，由已知可得，点， ，则. 因为直线AM与直线PC所成的角为60°，则 ，即. 解得z0＝1，从而.                        (3分) 设平面MAC的一个法向量为n，则，即. 取，则n.                                                 又m＝(0，0，1)为平面ABC的一个法向量，设向量m与n的夹角为θ， 则. 从而，.                                   (7分) 显然，二面角M－AC－B的平面角为锐角，故二面角M－AC－B的正切值是.(8分) （Ⅱ）因为a＝(1，0，0)为平面PCM的一个法向量，，则点A到平面PCM的距离.                            (10分) 又PC＝PM＝1，则.     (12分)

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