题目

如图，⊙O的半径OA⊥OC，点D在上，且=2， OA=4． （1）∠COD=　   　°； （2）求弦AD的长； （3）P是半径OC上一动点，连结AP、PD，请求出AP+PD的最小值，并说明理由． （解答上面各题时，请按题意，自行补足图形） 答案：【解答】解：（1）∵OA⊥OC， ∴∠AOC=90°， ∵=2， ∴∠AOD=2∠COD， ∴∠COD=∠AOC=30°， 故答案为：30； （2）连结OD、AD，如图1所示： 由（1）知∠AOD=2∠COD=2×30°=60°， ∵OA=OD， ∴△AOD为等边三角形， ∴AD=OA=4； （3）过点D作DE⊥OC，交⊙O于点E，连结AE，交OC于点P，则此时，AP+PD的值最小， 延长AO交⊙O于点B，连结BE，如图2所示： ∵根据圆的对称性，点E是点D关于OC的对称点， OC是DE的垂直平分线， 即PD=PE， ∴AP+PD最小值=AP+PE=AE， ∵∠AED=∠AOD=30°， 又∵OA⊥OC，DE⊥OC， ∴OA∥DE， ∴∠OAE=∠AED=30°， ∵AB为直径， ∴△ABE为直角三角形，由=cos∠BAE，AE=AB•cos30°=2×4×=， 即AP+PD=，

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