题目

已知公差不为零的等差数列{an}的首项a1=2，其前n项和为Sn，且a1，a2，a4成等比数列．其中n∈N*． （1）求数列{an}的通项公式及{an•（﹣3）n}的前2n项和T2n； （2）设bn=+，数列{bn}的前n项和为Pn，求Pn，并证明Pn＜an+3． 答案：【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d≠0，由a1，a2，a4成等比数列，可得=a1a4，解得d．可得an．于是an•（﹣3）n=2n•（﹣3）n．再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式可得：{an•（﹣3）n}的前2n项和T2n． （2）利用“裂项求和”方法及其数列的单调性即可得出． 【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d≠0，∵a1，a2，a4成等比数列，∴=a1a4， ∴（2+d）2=2（2+3d），解得d=2． ∴an=2+2（n﹣1）=2n． an•（﹣3）n=2n•（﹣3）n． ∴{an•（﹣3）n}的前2n项和T2n=2[﹣3+2×（﹣3）2+…+（2n﹣1）•（﹣3）2n﹣1+（2n）•（﹣3）2n]， ﹣3T2n=2[（﹣3）2+2×（﹣3）3+…+（2n﹣1）•（﹣3）2n+（2n）•（﹣3）2n+1]， ∴4T2n=2[（﹣3）+（﹣3）2+…+（﹣3）2n﹣（2n）•（﹣3）2n+1] =2[﹣（2n）•（﹣3）2n+1]=﹣， ∴T2n=． （2）由（1）可得：Sn==n（n+1）． ∴bn=+=+=+=2+2， ∴数列{bn}的前n项和为Pn=2n+2++…++ =2n+2（1+﹣）=2n+3﹣2， 可得Pn＜2n+3=an+3，即Pn＜an+3．

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