题目

21.     如图，椭圆Q：=1(a＞b＞0)的右焦点为F(c，0)，过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P为线段AB的中点.    (1)求点P的轨迹H的方程；    (2)若在Q的方程中，令a2=1+cosθ+sinθ，b2=sinθ(0＜θ≤).    设轨迹H的最高点和最低点分别为M和N.当θ为何值时，△MNF为—个正三角形? 答案：如图， （1）设椭圆Q：=1上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y），则由①-②得b2(x1-x2)2x+a2(y1-y2)2y=0.1°当AB不垂直x轴时，x1≠x2得到化简得：b2x2+a2y2-b2cx=0……（*）2°当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（*）所以点P的轨迹H的方程为：b2x2+a2y2-b2cx=0 （2）因为轨迹H的方程可化为：∴M（），N（），F(c，0)，使△MNF为一个正三角形时， 则，即a2=3b2.由于a2=1+cosθ+sinθ，b2=sinθ(0＜θ≤)，则1+cosθ+sinθ=3sinθ，得θ=2arctan(或表示为θ=arctan).

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