题目

如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB=30度． （1）求∠APB的度数； （2）当OA=3时，求AP的长． 答案：【考点】切线的性质． 【分析】（1）方法1，根据四边形的内角和为360°，根据切线的性质可知：∠OAP=∠OBP=90°，求出∠AOB的度数，可将∠APB的度数求出；方法2，证明△ABP为等边三角形，从而可将∠APB的度数求出； （2）方法1，作辅助线，连接OP，在Rt△OAP中，利用三角函数，可将AP的长求出；方法2，作辅助线，过点O作OD⊥AB于点D，在Rt△OAD中，将AD的长求出，从而将AB的长求出，也即AP的长． 【解答】解：（1）方法一： ∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°， ∴∠AOB=180°﹣2×30°=120°， ∵PA、PB是⊙O的切线， ∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°， ∴在四边形OAPB中， ∠APB=360°﹣120°﹣90°﹣90°=60°．   方法二： ∵PA、PB是⊙O的切线∴PA=PB，OA⊥PA； ∵∠OAB=30°，OA⊥PA， ∴∠BAP=90°﹣30°=60°， ∴△ABP是等边三角形， ∴∠APB=60°．   （2）方法一：如图①，连接OP； ∵PA、PB是⊙O的切线， ∴PO平分∠APB，即∠APO=∠APB=30°， 又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°， ∴AP==3．   方法二：如图②，作OD⊥AB交AB于点D； ∵在△OAB中，OA=OB， ∴AD=AB； ∵在Rt△AOD中，OA=3，∠OAD=30°， ∴AD=OA•cos30°=， ∴AP=AB=． 【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题． 　

查看本题答案和解析