题目

如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|=2|DP|．当点P在单位圆上运动时． （Ⅰ）求点M的轨迹C的方程； （Ⅱ）过点T（0，t）作单位圆的切线交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标．   答案：解：（I）设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0）， 则x=x0，y=2y0，所以x0=x，y0=，① 因为P（x0，y0）在圆x2+y2=1上，所以x02+y02=1②， 将①代入②，得点M的轨迹方程C的方程为x2+=1；… （Ⅱ）由题意知，|t|≥1， 设切线l的方程为y=kx+t，k∈R， 由， 得（4+k2）x2+2ktx+t2﹣4=0③， 设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）， 由③得：x1+x2=﹣，x1x2=， 又直线l与圆x2+y2=1相切，得=1，即t2=k2+1， ∴|AB|===， 又|AB|==≤2，且当t=±时，|AB|=2， 综上，|AB|的最大值为2， 依题意，圆心O到直线AB的距离为圆x2+y2=1的半径， ∴△AOB面积S=|AB|×1≤1， 当且仅当t=±时，△AOB面积S的最大值为1，相应的T的坐标为（0，﹣）或（0，）．…

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