题目

设Sn是数列{an}（n∈N*）的前n项和，a1=1，且Sn2=n2an+Sn﹣12，an≠0，n≥2，n∈N*． （1）证明：an+2﹣an=2（n∈N*）； （2）若an=log3bn，求数列{an•bn}的前n项和Tn． 答案：解：（1）证明：∵Sn2=n2an+Sn﹣12， ∴n2an=（Sn+Sn﹣1）（Sn﹣Sn﹣1）， 即n2an=（Sn+Sn﹣1）an，又∵an≠0， 故Sn+Sn﹣1=n2， 故Sn+1+Sn=（n+1）2， 故an+1+an=2n+1， 故an+2+an+1=2n+3， 故an+2﹣an=2（n∈N*）； （2）由题意可解得，a1=1，a2=2， 故an=n， 故log3bn=n， 故bn=3n， 故Tn=1•3+2•32+3•33+…+n•3n， 3Tn=1•32+2•33+3•34+…+n•3n+1， 故2Tn=n•3n+1﹣（3+32+33+…+3n） =n•3n+1﹣ =n•3n+1﹣•3n+1+， 故Tn=．

查看本题答案和解析