题目

如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连结DE、OE.【小题1】试判断DE与⊙O的位置关系并证明【小题2】求证：BC＝2CD·OE；【小题3】若tanC=,DE=2，求AD的长 答案：【小题1】DE与⊙O相切.……………………………………1分证明：连接OD，BD。………………………………2分∵AB是直径，∴∠ADB=∠BDC=90°.∵E是BC的中点，∴DE=BE=CE. ∴∠EBD=∠EDB.∵OD=OB，  ∴∠OBD=∠ODB.∴∠EDO=∠EBO=90°. ∴DE与⊙O相切.………………4分【小题2】∵OE是△ABC的中位线，∴AC=2OE……………5分∴△ABC∽△BDC.…………………………………………6分∴= .  即BC2=CD·AC.∴BC=2CD·OE.……………………………………………7分【小题3】解析:（3）∵tanC=，∴可设BD=，CD=2x.…………8分在Rt△BCD中，.解之，得x=±(负值舍去)∴BD==……………………………………9分∵tan∠ABD=tan∠C,∴AD=BD=.………………………………10分

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