题目

如图,在底面为平行四边形的四棱锥P—ABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB,点E是PD的中点. (1)求证:AC⊥PB;(2)求证:PB∥平面AEC;(3)求二面角E—AC—B的大小. 答案：解法1:(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,∴AB是PB在平面ABCD上的射影.又∵AB⊥AC,AC平面ABCD,∴AC⊥PB.(2)证明:连结BD,与AC相交于O,连结EO.∵ABCD是平行四边形,∴O是BD的中点.又E是PD的中点,∴EO∥PB.又PB平面AEC,EO平面AEC,∴PB∥平面AEC.(3)解:过O作FG∥AB,交AD于F,交BC于G,则F为AD的中点.∵AB⊥AC,∴OG⊥AC.又由(1)(2)知AC⊥PB,EO∥PB.∴AC⊥EO.∴∠EOG是二面角E—AC—B的平面角.连结EF,在△EFO中,EF=PA,FO=AB,又PA=AB,EF⊥FO,∴∠EOF=45°,∠EOG=135°.∴二面角E—AC—B的大小为135°.解法2:(1)证明:建立空间直角坐标系A—xyz,如图.设AC=a,PA=b,则有A(0,0,0),B(0,b,0),C(a,0,0),P(0,0,b), ∴ (a,0,0),=(0,b,-b),从而·=0.∴AC⊥PB.(2)证明:连结BD,与AC相交于O,连结EO.由已知得D(a,-b,0),E(,),O(,0,0),∴=(0,,-).又PB=(0,b,-b),∴PB =.∴PB∥EO.又PB平面AEC,EO平面AEC,∴PB∥平面AEC.(3)解:取BC中点G,连结OG,则点G的坐标为(,,0), =(0,,0),又=(0,-,), =(a,0,0),∴=0,=0.∴OE⊥AC,OG⊥AC.∴∠EOG是二面角E—AC—B的平面角.∵cosEOG=cos＜,＞=,∴∠EOG=135°.∴二面角E—AC—B的大小为135°.

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