题目

（1）问题 如图1，在四边形ABCD中，点为上一点， ． 求证：AD·BC=AP·BP． （2）探究 如图2，在四边形ABCD中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由． （3）应用 请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5， 点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠CPD=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心， DC为半径的圆与AB相切时，求t的值． 答案：（1）证明：如图1 ∵∠DPC=∠A=∠B=90°， ∴∠ADP+∠A PD=90°． ∠BPC+∠APD=90°． ∴∠ADP=∠BPC， ∴△ADP∽△ BPC． ∴． ∴ADBC=APBP ． (2)结论ADBC=APBP仍成立. 理由：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC， 又∵∠BPD=∠A+∠ADP， ∴∠A+∠ADP =∠DPC+∠BPC． ∵∠DPC=∠A=  ， ∴∠BPC=∠ADP． 又∵∠A=∠B=， ∴△ADP∽△ BPC． ∴． ∴ADBC=APBP． （3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E． ∵AD=BD=5， ∴AE=BE=3，由勾股定理得DE=4. ∵以D为圆心，DC为半径的圆与AB相切， ∴DC＝DE＝4， ∴BC＝5－4＝１． 又∵AD=BD， ∴∠A=∠B． 由已知，∠CPD=∠A， ∴∠DPC=∠A=∠B． 由（1）、（2）的经验可知ADBC=APBP . 又AP＝t，BP＝6－t， ∴t（6－t）＝5×１． 解得t１＝１，t２＝5． ∴t的值为1秒或5秒．  

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