题目

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，线段AB为半圆O的直径，将Rt△ABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得△DEF，DF与BC交于点H． （1）求BE的长； （2）求Rt△ABC与△DEF重叠（阴影）部分的面积． 答案：解：（1）连结OG，如图， ∵∠BAC=90°，AB=4，AC=3，∴BC==5，                   ∵Rt△ABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得△DEF， ∴AD=BE，DF=AC=3，EF=BC=5，∠EDF=∠BAC=90°， ∵EF与半圆O相切于点G，           ∴OG⊥EF， ∵AB=4，线段AB为半圆O的直径，     ∴OB=OG=2， ∵∠GEO=∠DEF，       ∴Rt△EOG∽Rt△EFD，           3′ ∴=，即=，解得OE=，      ∴BE=OE﹣OB=﹣2=；     （2）BD=DE﹣BE=4﹣=． ∵DF∥AC，     ∴，即，  解得：DH=2．       ∴S阴影=S△BDH=BD•DH=××2=， 即Rt△ABC与△DEF重叠（阴影）部分的面积为．                   

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