题目

设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.(1)若f(x)在x=3处取得极值,求常数a的值;(2)若f(x)在(-∞,0)上为增函数,求a的取值范围. 答案：解：(1)f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-a)(x-1).    因f(x)在x=3处取得极值,所以f′(3)=6(3-a)(3-1)=0.    解得a=3.经检验知,当a=3时,x=3为f(x)的极值点.(2)令f′(x)=6(x-a)(x-1)=0,得x1=a,x2=1.    当a＜1时,若x∈(-∞,a)∪(1,+∞),则f′(x)＞0,所以f(x)在(-∞,a)和(1,+∞)上为增函数.故当0≤a＜1时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.    当a≥1时,若x∈(-∞,1)∪(a,+∞),则f′(x)＞0,所以f(x)在(-∞,1)和(a,+∞)上为增函数,从而f(x)在(-∞,0)上也为增函数.    综上所述,当a∈［0,+∞)时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.

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