题目

把函数y=lnx-2的图象按向量a=(-1,2)平移得到函数y=f(x)的图象.(1)若x＞0，证明：f(x)＞；(2)若不等式x2≤f(x2)+m2-2bm-3对b∈［-1,1］,x∈［-1,1］时恒成立，求实数m的取值范围. 答案：答案：(1)证明：依题意有f(x)=ln(x+1),令F(x)=f(x)=ln(x+1)，则F′(x)=.                               ∴当x＞0时，F′(x)＞0，x=0，F′(x)=0，∴F(x)在[0，+∞)上单调递增.∴x＞0时，F(x)＞F(0)=0，即f(x)＞0,∴f(x)＞.                       (2)解：x2≤f(x2)+m2-2bm-3x2-f(x2)≤m2-2bm-3，设g(x)=x2-f(x2)=x2-ln(x2+1)，则g′(x)=x.                   令g′(x)=0，得x=0或±1，列表分析最值：x-1(-1，0)0(0，1)1g′(x)0+0-0g(x)极小值为-ln2递增极大值为0递减极小值为-ln2∴当x∈［-1,1］时，g(x)max=0，∴不等式x2-f(x2)≤m2-2bm-3对b∈［-1,1］及x∈［-1,1］时恒成立0≤m2-2bm-3对b∈［-1,1］时恒成立.令h(b)=m2-2bm-3，则解得m≥3或m≤-3.故m的取值范围为(-∞,-3］∪［3,+∞).

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