题目

如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是直角梯形, BC∥AD,且∠BAD=90°,又PA⊥底面ABCD,BC=AB=PA=1,AD=2.(1)求二面角P-CD-A的平面角的正弦值;(2)求A到平面PCD的距离. 答案：解:(1)在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是直角梯形,且BC∥AD,∠BAD=90°,连结AC,而AB=BC=1,则AC=,又AD=2,∠CAD=,由余弦定理可求得CD=.故AC⊥CD.又PA⊥面ABCD,∴AC为PC在面ABCD内的射影.∴CD⊥PC.∴∠PCA是二面角P-CD-A的平面角.又PA=1,AC=,则PC=,故sin∠PCA=. (2)由(1)可知DC⊥面PAC,∴面PAC⊥面PCD.过A作AH⊥PC于H,则AH⊥PC,故AH为A点到平面PCD之距.在△PAC中,PA=1,AC=2,PC=,∴AH==.∴A点到平面PCD之距离为.

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