题目

如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE． （1）求AC、AD的长； （2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由． 答案：【考点】切线的判定；勾股定理；圆周角定理． 【专题】几何综合题． 【分析】（1）连接BD，先求出AC，在Rt△ABC中，运用勾股定理求AC，②由CD平分∠ACB，得出AD=BD，所以Rt△ABD是直角等腰三角形，求出AD， （2）连接OC，由角的关系求出∠PCB=∠ACO，可得到∠OCP=90°，所以直线PC与⊙O相切． 【解答】解：（1）①如图，连接BD， ∵AB是直径， ∴∠ACB=∠ADB=90°， 在Rt△ABC中， AC===5（cm）， ②∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD， ∴， ∴AD=BD， ∴Rt△ABD是直角等腰三角形， ∴AD=AB=×10=5cm； （2）直线PC与⊙O相切， 理由：连接OC， ∵OC=OA， ∴∠CAO=∠OCA， ∵PC=PE， ∴∠PCE=∠PEC， ∵∠PEC=∠CAE+∠ACE， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACE=∠ECB， ∴∠PCB=∠CAO=∠ACO， ∵∠ACB=90°， ∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°， 即OC⊥PC， ∴直线PC与⊙O相切． 【点评】本题主要考查了切线的判定，勾股定理和圆周角，解题的关键是运圆周角和角平分线及等腰三角形正确找出相等的角． 　

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