题目

如图，在平面直角坐标系中，正方形的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过，的中点，作，的平行线，相交于点，已知．（1）求证：四边形为菱形．（2）求四边形的面积．（3）若点在轴正半轴上（异于点，点在轴上，平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形与四边形相似？若存在，求点的坐标；若不存在，试说明理由．答案：【解答】（1）证明：如图1中，，，四边形是平行四边形，四边形是正方形，，，，分别是，的中点，，，，四边形是菱形．（2）解：如图1中，连接．，，，．（3）解：如图1中，连接，设交于，，，，，，，， ①当为菱形的一边，点在轴的上方，有图2，图3两种情形：如图2中，设交于，过点作轴于，交于，设．菱形菱形，，，，，是的中位线，，，，，，，，，，，，．如图3中，过点作轴于，过点作轴交于，延长交于．同法可证：，，设，，，是的中位线，，，，，，． ②当为菱形的边，点在轴的下方时，有图4，图5两种情形：如图4中，，过点作于，过点作于．是的中位线，，同法可得：，，，，设，则，，，，，点的坐标为，．如图5中，，过点作轴于交于，过点作于．是的中位线，，，同法可得：，，则，设，则，，，，，，． ③如图6中，当为菱形的对角线时，有图6一种情形：过点作轴于于点，交于，过点作于．轴，，，，同法可得：，，，，是的中位线，，，，综上所述，满足条件的点的坐标为或或，或，或．

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