题目

(12分)如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，且，为中点.（1）求证：平面；    　 （2）求二面角的大小；（3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 答案：解析：解法一：（1）证明：∵底面为正方形，  ∴，又，  ∴平面，∴. 同理可证，   ∴平面．          （2）解：设为中点，连结，又为中点，可得，从而底面．过 作的垂线，垂足为,连结． 由三垂线定理有，∴为二面角的平面角.在中，可求得   ∴．                  ∴ 二面角的大小为．   （3）由为中点可知,要使得点到平面的距离为，即要点到平面的距离为.  过 作的垂线，垂足为,∵平面，∴平面平面，∴平面，即为点到平面的距离.∴，∴．              设，由与相似可得，∴，即．∴在线段上存在点，且为中点，使得点到平面的距离为．解法二：（Ⅰ）证明：同解法一． （2）解：建立如图的空间直角坐标系， .   设为平面的一个法向量，则，．又  令则得．       又是平面的一个法向量，设二面角的大小为 ，则． ∴ 二面角的大小为．   （3）解：设为平面的一个法向量，则，．又， 令则得．  又∴点到平面的距离，∴，解得，即 ，∴在线段上存在点，使得点到平面的距离为,且为中点

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