题目

如图1，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E在AD上． （1）求证：BE=CE； （2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．试探索AE与BD的数量关系，并证明你的结论． 答案：【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得AD垂直平分BC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BE=CE； （2）判断出△ABF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AF=BF，再根据同角的余角相等求出∠CBF=∠AEF，然后利用“角边角”证明△AEF和△BCF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BC，从而得到AE=2BD． 【解答】证明：（1）∵AB=AC，点D是BC的中点， ∴AD垂直平分BC， ∴BE=CE； （2）AE=2BD．理由如下： ∵∠BAC=45°，BF⊥AC， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴AF=BF， ∵BF⊥AC， ∴∠CBF+∠C=90°， ∵AD垂直平分BC， ∴∠EAF+∠C=90°，BC=2BD， ∴∠CBF=∠AEF， 在△AEF和△BCF中， ， ∴△AEF≌△BCF（ASA）， ∴AE=BC， ∴AE=2BD． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质准确确定出全等三角形是解题的关键．

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