题目

已知三角形的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量，，若． （1）求角B的大小； （2）若△ABC的面积为，求AC边的最小值，并指明此时三角形的形状． 答案：考点： 余弦定理；三角形的形状判断；正弦定理． 专题： 解三角形． 分析： （1）利用两个向量共线的性质、正弦定理可得2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，由sinA＞0，求得，从而求得B的值． （2）由△ABC的面积为，求得ac=4，再利用余弦定理以及基本不等式求出AC的最小值． 解答： 解：（1），∵，∴（2a﹣c）cosB=bcosC． 由正弦定理得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC， 整理得：2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC， 即2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∵sinA＞0，∴． ∵0＜B＜π，∴． …（6分） （2）由已知得：，∴ac=4． 由余弦定理，b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac，当且仅当“a=c”时取等号． ∴AC的最小值为2，此时三角形为等边三角形．…（12分） 点评： 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，两个向量共线的性质，两角和差的正弦公式，基本不等式，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．

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