题目

已知函数．                          （Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；         （Ⅱ）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；            （Ⅲ）记g（x）=f（x）+x﹣b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．                                            　                                                           答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．                                                 【专题】计算题；压轴题．                                        【分析】（Ⅰ） 求出函数的定义域，在定义域内，求出导数大于0的区间，即为函数的增区间，           求出导数小于0的区间即为函数的减区间．                          （Ⅱ） 根据函数的单调区间求出函数的最小值，要使f（x）＞2（a﹣1）恒成立，需使函数的最小值大于2（a﹣1），                                            从而求得a的取值范围．                                          （Ⅲ）利用导数的符号求出单调区间，再根据函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，得到，                         解出实数b的取值范围．                                         【解答】解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1，函数f（x）的定义域为（0，+∞），        因为，所以，，所以，a=1．         所以，，． 由f'（x）＞0解得x＞2；由f'（x）＜0，解得 0＜x＜2．                            所以f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）．          （Ⅱ）  ，由f'（x）＞0解得； 由f'（x）＜0解得．            所以，f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减．          所以，当时，函数f（x）取得最小值，．因为对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，                                            所以，即可． 则． 由解得．        所以，a的取值范围是  ．                               （Ⅲ） 依题得，则．          由g'（x）＞0解得  x＞1；   由g'（x）＜0解得  0＜x＜1．            所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．            又因为函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，所以，          解得．   所以，b的取值范围是．        【点评】本题考查导数与曲线上某点的切线斜率的关系，利用导数求函数的单调区间以及函数的最值．         

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