题目

如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2．E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交x轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F． （1）求OA、OC的长； （2）求证：DF为⊙O′的切线； （3）由已知可得，△AOE是等腰三角形．那么直线BC 上存不存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角 形？如果不存在，说明理由；如果存在，直接写出P点 的坐标．   答案：（1）解：在矩形OABC中，设OC=x，则OA=x+2， ∴x（x+2）=15， ∴x1=3，x2=﹣5， ∴x2=﹣5（不合题意，舍去）， ∴OC=3，OA=5； （2）证明：如图1，连接O′D， 在矩形OABC中，OC=AB，∠OCB=∠ABC=90°，CE=BE=， 在△OCE和△ABE中， ， ∴△0CE≌△ABE（SAS）， ∴EA=EO， ∴∠1=∠2； ∵在⊙O′中，O′O=O′D， ∴∠1=∠3， ∴∠3=∠2， ∴O′D∥AE； ∵DF⊥AE， ∴DF⊥O′D， ∵点D在⊙O′上，O′D为⊙O′的半径， ∴DF为⊙O′切线； （3）解：存在． 其坐标为（1，3）或（9，3）或（4，3）或（﹣4，3）．

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