题目

有几个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证这几个圆将平面分成f(n)=n2-n+2个部分.（n∈N+） 答案：思路分析：因为f(n)为n个圆把平面分割成的区域数，那么再有一个圆和这n个圆相交，就有2n个交点，这些交点将增加的这个圆分成2n段弧，且每一段弧又将原来的平面区域一分为二，因此，增加一个圆后，平面分成的区域数增加2n个，即f(n+1)=f(n)+2n.有了上述关系，数学归纳法的第二步证明可迎刃而解.证明：（1）当n=1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)=1-1+2=2,所以n=1时命题成立.(2)假设n=k(k≥1)时命题成立，即k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2个部分.则n=k+1时，在k+1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个点将圆O分成2k段弧，每段弧将原平面一分为二，故得f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2.∴当n=k+1时,命题成立.综上（1）（2）可知，对一切n∈N+，命题成立.

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