题目

如图11，⊙O是△ABC的内切圆．（1）若∠A＝60°，连接BO、CO并延长，分别交AC、AB于点D、E， ① 求∠BOC的度数； ② 试探究BE、CD、BC之间的等量关系，并证明你的结论；（2）若AB＝AC＝10，sin∠ABC＝，AC、AB与⊙O相切于点D、E，将BC向上平移与⊙O交于点F、G，若以D、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求平移的距离．答案：解：（1）①∵∠A＝60° ∴∠ABC＋∠ACB＝120°…………1分 ∵⊙O是△ABC的内切圆 ∴ BD平分∠ABC，CE平分∠ACB ∴∠DBC＋∠ECB＝60°…………2分 ∴∠BOC＝120°…………3分 ②BC= BE＋CD…………4分解法1：作∠BOC的平分线OF交BC于点F， ∵∠BOC＝120° ∴∠BOE＝60°，∠BOF＝60° 在△BOE与 △BOF中 ∴ △BOE≌△BOF（ASA） ∴ BE=BF …………6分同理可证：CD=CF …………8分 ∴ BC= BE＋CD 解法2：在BC上截取BF=BE，可证 △BOE≌△BOF（SAS）…………5分 ∴∠BOE＝∠BOF ∵∠BOC＝120° ∴∠BOE＝∠COD ＝∠COF＝60° 可证：△COD≌△COF（ASA）…………7分 ∴ CD=CF …………8分 ∴ BC= BE＋CD （2）如图，连接AO并延长，交BC于点N，交ED于点M ∵⊙O是△ABC的内切圆 ∴ AO是∠BAC的平分线，又 AB＝AC， ∴ AN⊥BC ∵AB＝AC＝10，sin∠ABC＝ ∴ AN＝8，BN＝6 …………9分由切线长定理得：BN＝BE=6，AE=AD＝4， ∵点D、E是⊙O的切点，连接OE，∠AEO=∠ANB，∠BAN=∠BAN， ∴△AOE∽△ABN ∴ ，即解得…………10分 ∴ ∵，∠BAC=∠BAC ∴△AED∽△ABC ∴ ，………12分以D、E、F、G为顶点的四边形是矩形 ∴∠DEF＝90° ∴ 是⊙O 的直径…………13分 ∴ ∴平移的距离是…………14分

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