题目

设a为实数，函数f(x)=x3-x2-x+a.(1)求f(x)的极值;(2)当a在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点. 答案：解：(1)f′(x)=3x2-2x-1.    若f′(x)=0,则x=-或x=1.    当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表.x(-∞,-)-(-,1)1(1,+∞)f′(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗    所以f(x)的极大值是f(-)=+a,极小值是f(1)=a-1.(2)函数f(x)=x3-x2-x+a=(x-1)2(x+1)+a-1.    由此可知x取足够大的正数时有f(x)＞0,x取足够小的负数时有f(x)＜0,    所以曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点.    结合f(x)的单调性可知,    当f(x)的极大值+a＜0,即a∈(-∞,-)时,它的极小值也小于0,    因此曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点,它在(1,+∞)上;    当f(x)的极小值a-1＞0,即a∈(1,+∞)时,它的极大值也大于0，    因此曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点,它在(-∞,-)上.    所以当a∈(-∞,-)∪(1,+∞)时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.

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