题目

已知函数f(x)＝x3－ax2＋(a2－1)x＋b(a，b∈R)，其图象在点(1，f(1))处的切线方程为x＋y－3＝0. (1)求a，b的值； (2)求函数f(x)的单调区间，并求出f(x)在区间上的最大值. 答案：解：(1)f′(x)＝x2－2ax＋a2－1，………………1分 ∵(1，f(1))在x＋y－3＝0上，∴f(1)＝2， ∵(1,2)在y＝f(x)上，∴2＝－a＋a2－1＋b，………………3分 又f′(1)＝－1，∴a2－2a＋1＝0，………………4分 解得a＝1，b＝.………………6分 (2)∵f(x)＝x3－x2＋，∴f′(x)＝x2－2x， 由f′(x)＝0可知x＝0和x＝2是f(x)的极值点，所以有 x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  极小值  所以f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间是(0,2)．………………9分 ∵f(0)＝，f(2)＝，f(－2)＝－4，f(4)＝8， ∴在区间上的最大值为8.---------12分

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