题目

已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点． （1）若|AF|=4，求点A的坐标； （2）求线段AB的长的最小值． 答案：【考点】抛物线的简单性质． 【专题】综合题；分类讨论；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）由y2=4x，得p=2，其准线方程为x=﹣1，焦点F（1，0）．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由抛物线的定义可知，|AF|=x1+，从而x1=3．由此能得到点A的坐标． （2）分类讨论，设直线l的方程为y=k（x﹣1），代入y2=4x整理得x2﹣6x+1=0，其两根为x1，x2，且x1+x2=6．由抛物线的定义可知线段AB的长． 【解答】解：由y2=4x，得p=2，其准线方程为x=﹣1，焦点F（1，0）． 设A（x1，y1），B（x2，y2）． （1）由抛物线的定义可知，|AF|=x1+，从而x1=3． 代入y2=4x，解得y1=． ∴点A的坐标为（3，2）或（3，﹣2）． （2）斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），代入y2=4x整理得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0． 再设B（x2，y2），则x1+x2=2+． ∴|AB|=x1+x2+2=4+＞4． 斜率不存在时，|AB|=4， ∴线段AB的长的最小值为4． 【点评】本题考查了抛物线的定义及其几何性质，以及直线与抛物线的位置关系．直线与抛物线的位置关系问题，一般是将直线方程代入抛物线方程消元得到关于x的一元二次方程，然后借助于韦达定理解决后续问题．

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