题目

已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF． （1）求证：AE=AF； （2）若∠B=60°，点E，F分别为BC和CD的中点，求证：△AEF为等边三角形． 答案：【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定． 【专题】证明题；压轴题． 【分析】（1）由菱形的性质可得AB=AD，∠B=∠D，又知BE=DF，所以利用SAS判定△ABE≌△ADF从而得到AE=AF； （2）连接AC，由已知可知△ABC为等边三角形，已知E是BC的中点，则∠BAE=∠DAF=30°，即∠EAF=60°．因为AE=AF，所以△AEF为等边三角形． 【解答】证明：（1）由菱形ABCD可知： AB=AD，∠B=∠D， ∵BE=DF， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴AE=AF； （2）连接AC， ∵菱形ABCD，∠B=60°， ∴△ABC为等边三角形，∠BAD=120°， ∵E是BC的中点， ∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一的性质）， ∴∠BAE=30°，同理∠DAF=30°， ∴∠EAF=60°，由（1）可知AE=AF， ∴△AEF为等边三角形． 【点评】此题主要考查学生对菱形的性质，全等三角形的判定及等边三角形的判定的理解及运用． 　

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