题目

如图，四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AC=AB，CB=CD，∠DCB=120°，点E在BD上，且CE=DE． （Ⅰ）求证：AB⊥CE； （Ⅱ）若AC=CE，求二面角A﹣CD﹣B的余弦值． 答案：【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系． 【专题】空间位置关系与距离；空间角． 【分析】（Ⅰ）由已知得∠CDB=30°，∠DCE=30°，∠BCE=90°，从而EC⊥BC，由平面ABC⊥平面BCD，得EC⊥平面ABC，由此能证明EC⊥AB． （Ⅱ）取BC的中点O，BE中点F，连结OA，OF，以O为原点，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ACD的法向量和平面BCD的法向量，由此利用向量法能注出二面角A﹣CD﹣B的余弦值． 【解答】解：（Ⅰ）证明：△BCD中，CB=CD，∠BCD=120°， ∴∠CDB=30°， ∵EC=DE，∴∠DCE=30°，∠BCE=90°， ∴EC⊥BC， 又∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC与平面BCD的交线为BC， ∴EC⊥平面ABC，∴EC⊥AB． （Ⅱ）解：取BC的中点O，BE中点F，连结OA，OF， ∵AC=AB，∴AO⊥BC， ∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC， ∴AO⊥平面BCD，∵O是BC中点，F是BE中点，∴OF⊥BC， 以O为原点，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系， 设DE=2，则A（0，0，1），B（0，，0）， C（0，﹣，0），D（3，﹣2，0）， ∴=（0，﹣，﹣1），=（3，﹣，0）， 设平面ACD的法向量为=（x，y，z）， 则，取x=1，得=（1，，﹣3）， 又平面BCD的法向量=（0，0，1）， ∴cos＜＞==﹣， ∴二面角A﹣CD﹣B的余弦值为． 【点评】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面以及面面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用．本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求．

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