题目

已知A、B为抛物线C：y2 = 4x上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切，P为l1、l2的交点. （Ⅰ）若直线AB过抛物线C的焦点F，求证：动点P在一条定直线上，并求此直线方程； （Ⅱ）设C、D为直线l1、l2与直线x = 4的交点，求面积的最小值. 答案：【解析】（Ⅰ）设， （）. 易知斜率存在，设为，则方程为. 由得，  ……………  ① 由直线与抛物线相切，知. 于是，，方程为. 同理，方程为. 联立、方程可得点坐标为 ， ∵  ，方程为， 过抛物线的焦点. ∴  . ∴  .    设（），， 由知，，当且仅当时等号成立. ∴  . 设，则. ∴  时，；时，.在区间上为减函数； 在区间上为增函数. ∴  时，取最小值. ∴  当，， 即，时，面积取最小值.    …………  13分

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