题目

如图,已知△P1OP2的面积为,=2,求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程.  答案：解:以O为原点，∠P1OP2的平分线为x轴建立直角坐标系，设双曲线的方程为,由于双曲线的离心率为，∴e2=.∴.∴两条渐近线的方程为y=±x.                                                               由此设点P1(x1,x1),P2(x2,-x2)(x1＞0,x2＞0),由题设知点P分P1P2所成的比λ=2,得点P的坐标为(,),又点P在双曲线上，∴-=1,即(x1+2x2)2-(x1-2x2)2=9a2.∴8x1x2=9a2.                ①又|OP1|==x1, |OP2|=x2且sin∠P1OP2=.∴S△=|OP1||OP2|sin∠P1OP2=×x1x2×=,由此得x1x2=.代入①式得a2=4,∴b2=9,所求方程为.

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