题目

若数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足，．数列满足，为数列的前n项和． （1）求、和； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由． 答案：解：（1）（法一）在中，令，， 得   即解得，，． ， ． （法二）是等差数列， ．由，得 ， 又，，则．(求法同法一) （2）①当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．  ，等号在时取得．此时需满足． ②当为奇数时，要使不等式恒成立， 即需不等式恒成立．  是随的增大而增大， 时取得最小值． 此时 需满足．综合①、②可得的取值范围是． （3），  若成等比数列，则，即． （法一）由，　　可得， 即，． 又，且，所以，此时． 因此，当且仅当， 时，数列中的成等比数列． （法二）因为，故，即， ，（以下同上）．

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