题目

设函数f（x）=x3ax，其中a＞0且a≠1，若φ（x）=是区间（0，2）上的增函数． （Ⅰ）求a的最小值； （Ⅱ）当a取得最小值时，证明：对于任意的0＜x1＜x2，当x1+x2=6时，有f（x1）＜f（x2）． 　 答案：【分析】（Ⅰ）求导f′（x）=3x2ax+x3axlna=ax（3x2+x3lna），故φ（x）=3x2+x3lna，求导φ′（x）=6x+（3lna）x2，从而可得当x∈（0，2）时，φ′（x）≥0恒成立，从而化为求函数的最值问题即可； （Ⅱ）当时，，从而化简可得，即3lnx1﹣3ln（6﹣x1）+6﹣2x1＜0；令g（x）=3lnx﹣3ln（6﹣x）+6﹣2x，x∈（0，3），从而求导判断函数的单调性即可． 【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x2ax+x3axlna=ax（3x2+x3lna）， ∴φ（x）==3x2+x3lna， ∴φ′（x）=6x+（3lna）x2， ∵φ（x）=是区间（0，2）上的增函数， ∴当x∈（0，2）时，φ′（x）=6x+（3lna）x2≥0恒成立， 即恒成立； 又x∈（0，2）时，， 故lna≥﹣1， 故a≥； 即a的最小值为． （Ⅱ）证明：当时，， ∵0＜x1＜x2且x1+x2=6， ∴0＜x1＜3，x2=6﹣x1， 要证f（x1）＜f（x2）， 只需证（0＜x1＜3）， 只需证， 只需证x2﹣x1＜3lnx2﹣3lnx1， 只需证3lnx1﹣3lnx2+x2﹣x1＜0， 只需证3lnx1﹣3ln（6﹣x1）+6﹣2x1＜0（*）； 设g（x）=3lnx﹣3ln（6﹣x）+6﹣2x，x∈（0，3）， 则， 当x∈（0，3）时，g′（x）＞0，即g（x）在（0，3）上单调递增， 于是对于任意的0＜x1＜3，g（x1）＜g（3）=0，即（*）式成立， 故原命题成立． 【点评】本题考查了函数与不等式的关系应用及导数的综合应用，属于中档题．

查看本题答案和解析