题目

已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.（1）求函数f(x)的解析式；（2）求证：对于区间［-1,1］上任意两个自变量的值x1,x2，都有|f(x1)-f(x2)|≤4；（3）若过点A(1,m)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围. 答案：（1）解:f′(x)=3ax2+2bx-3,依题意,f′(1)=f′(-1)=0, 即解得a=1,b=0.∴f(x)=x3-3x. （2）证明:∵f(x)=x3-3x,∴f′(x)=3x3-3=3(x+1)(x-1).当-1＜x＜1时,f′(x)＜0,故f(x)在区间［-1,1］上为减函数,fmax(x)=f(-1)=2,fmin(x)=f(1)=-2.∵对于区间［-1,1］上任意两个自变量的值x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x)-fmin(x)|,∴|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x)-fmin(x)|=|2-(-2)|=4. （3）解:f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),∵曲线方程为y=x3-3x,∴点A(1,m)不在曲线上.设切点为M(x0,y0),则点M的坐标满足y0=x03-3x0.∵f′(x0)=3(x02-1),故切线的斜率为3(x02-1)=,整理得2x03-3x02+m+3=0.∵过点A(1,m)可作曲线的三条切线,∴关于x0的方程2x03-3x02+m+3=0有三个实根. 设g(x0)=2x03-3x02+m+3,则g′(x0)=6x02-6x0.由g′(x0)=0,得x0=0或x0=1.∴g(x0)在(-∞,0),(1,+∞)上单调递增,在（0,1）上单调递减.∴函数g(x0)=2x03-3x02+m+3的极值点为x0=0,x0=1. ∴关于x0方程2x03-3x02+m+3=0有三个实根的充要条件是解得-3＜m＜-2.故所求的实数m的取值范围是-3＜m＜-2.

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