题目

如图,在棱长为1的正方体ABCD—A′B′C′D′中,AP=BQ=b(0＜b＜1),截面PQEF∥A′D,截面PQGH∥AD′.(1)证明平面PQEF和平面PQGH互相垂直;(2)证明截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值,并求出这个值;(3)若b=,求D′E与平面PQEF所成角的正弦值. 答案：答案：本题主要考查空间中的线面关系、面面关系、解三角形等基础知识,考查空间想象能力与逻辑思维能力.解法一:(1)证明:在正方体中,AD′⊥A′D,AD′⊥AB,又由已知可得PF∥A′D,PH∥AD′,PQ∥AB,所以PH⊥PF,PH⊥PQ.所以PH⊥平面PQEF.所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直.                                        (2)证明:由(1)知PF=,PH=.又截面PQEF和截面PQGH都是矩形,且PQ=1,所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是()×PQ=,是定值.        (3)解:设AD′交PF于点N,连结EN.因为AD′⊥平面PQEF,所以∠D′EN为D′E与平面PQEF所成的角.因为b=,所以P、Q、E、F分别为AA′、BB′、BC、AD的中点.可知D′N=,D′E=.所以sin∠D′EN=.                                          解法二:以D为原点,射线DA、DC、DD′分别为x、y、z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D—xyz.由已知得DF=1-b,故A(1,0,0),A′(1,0,1),D(0,0,0),D′(0,0,1),P(1,0,b),Q(1,1,b),E(1-b,1,0),F(1-b,0,0),G(b,1,1),B(b,0,1).(1)证明:在所建立的坐标系中,可得=(0,1,0),=(-b,0,-b), =(b-1,0,1-b), =(-1,0,1),=(-1,0,-1).因为·=0,·=0,所以是平面PQEF的法向量.因为·=0,·=0,所以是平面PQGH的法向量.因为·=0,所以⊥.所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直.                                         (2)证明:因为=(0,-1,0),所以∥,||=||.又⊥,所以PQEF为矩形.同理,PQGH为矩形.在所建立的坐标系中可求得||=(1-b),||=.所以||+||=.又||=1,所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为,是定值.                            (3)解:由(1)知=(-1,0,1)是平面PQEF的法向量.由P为AA′中点可知,Q、E、F分别为BB′、BC、AD的中点.所以E(,1,0),=(,1,-1),因此D′E与平面PQEF所成角的正弦值等于|cos〈,〉|=.

查看本题答案和解析