题目

已知椭圆C：2x2+3y2=6的左焦点为F，过F的直线l与C交于A、B两点．（1）求椭圆C的离心率； （2）当直线l与x轴垂直时，求线段AB的长；（3）设线段AB的中点为P，O为坐标原点，直线OP交椭圆C交于M、N两点，是否存在直线l使得|NP|=3|PM|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。 答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在直线l：x=±y﹣1，使得|NP|=3|PM|． 解：（Ⅰ）椭圆C：2x2+3y2=6，即为 +=1，可得a=，b=，c=1， 即有e==； （Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，即为x=﹣1， 代入椭圆方程可得y2=，解得y=±， 则线段AB的长为； （Ⅲ）由F（﹣1，0），设直线AB：x=my﹣1，代入椭圆方程， 可得（3+2m2）y2﹣4my﹣4=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 可得y1+y2=， 即有中点P的坐标为（，）， 直线OP：y=﹣x，代入椭圆方程，可得 x=±， 可设xN=，xM=﹣， 假设存在直线l使得|NP|=3|PM|， 即有=3， 即为﹣=3（﹣﹣）， 解得m=±， 则存在直线l：x=±y﹣1，使得|NP|=3|PM|． 考点：椭圆的简单性质． 综上，实数的取值范围是. 考点：导数的综合应用

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