题目

已知f（x）是定义在R上奇函数，又f（2）=0，若x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，则不等式xf（x）＜0的解集是__________． 答案：（﹣2，0）U（0，2）． 【考点】导数的运算． 【专题】导数的概念及应用． 【分析】由题意可得F（x）=xf（x）为R上偶函数，且在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减，不等式xf（x）＜0等价于F（x）＜F（2），结合函数的性质可得． 【解答】解：∵f（x）是定义在R上奇函数， ∴F（x）=xf（x）为R上偶函数， 又f（2）=0，∴F（2）=0， ∵x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0， ∴x＞0时，F′（x）=xf′（x）+f（x）＞0， ∴函数F（x）在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减， 不等式xf（x）＜0等价于F（x）＜0，即F（x）＜F（2）， 由单调性可得2＜x＜2， 又F（0）=0，不满足F（x）＜F（2）， 故所求解集为（﹣2，0）U（0，2） 故答案为：（﹣2，0）U（0，2） 【点评】本题考查导数的运算，涉及构造函数以及利用函数的单调性和奇偶性求解不等式，属中档

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