题目

已知曲线C1:(θ为参数),曲线C2:(t为参数). (1)指出C1,C2各是什么曲线,并说明C1与C2公共点的个数. (2)若把C1,C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线C1′,C2′,写出C1′,C2′的参数方程.C1′与C2′公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同?说明你的理由. 答案：【解析】(1)C1是圆,C2是直线,C1的普通方程为x2+y2=1,圆心C1(0,0),半径r=1. C2的普通方程为x-y+=0,因为圆心C1到直线x-y+=0的距离为1, 所以C1与C2只有一个公共点. (2)压缩后的参数方程分别为 C′1:(θ为参数), C′2:(t为参数), 化为普通方程为C1′:x2+4y2=1,C2′:y=x+, 联立消元得:2x2+2x+1=0,其判别式Δ=-4×2×1=0,所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点,和原来相同.

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