题目

如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB=90°，CB=1，CA=，AA1=，M是侧棱CC1上一点，AM⊥BA1． (1)求证AM⊥平面A1BC； (2)求二面角B―AM―C的大小． 答案： 解：(1)在三棱柱ABC―A1B1C1中，易知平面ACC1A1⊥平面ABC于AC，因为∠ACB=90°，∴BC⊥AC又AM平面ACClA1，所以BC⊥AM，因为AM⊥BA1，且BC∩BA1=B， 所以AM⊥平面A1BC (2)设AM与A1C的交点为O，连接BO，如图所示，由(1)知AM⊥OB，且AM⊥OC，所以∠BOC为二面角B―AM―C的平面角， 在Rt△ACM和Rt△A1AC中，∠MAC+∠ACO=90°，∠AA1C+∠ACO=90°， ∴∠AA1C=∠MAC，所以Rt△ACM∽Rt△A1AC，所以AC2 =MC・AA1 ， 所以MC=，所以在Rt△ACM中，AM=， 因为AC・MC=AM・CO，所以CO=1，所以在Rt△BCO中，tan∠BOC=1， 所以∠BOC=45°，故所求二面角的大小为45°(也可以建立空间直角坐标系来求解)．

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