题目

如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是AB边上一点，BF=3AF，则下列四个结论： ①△AEF∽△DCE； ②CE平分∠DCF； ③点B、C、E、F四个点在同一个圆上； ④直线EF是△DCE的外接圆的切线； 其中，正确的个数是(     ) A．1个  B．2个   C．3个  D．4个 答案：D【考点】四边形综合题． 【分析】由正方形的性质得出AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠D=90°，设AF=a，则BF=3a，AB=BC=CD=AD=4a，证出AE：DE=AE：CD，即可得出①正确； 先证出∠CEF=90°，由勾股定理求出EF=a，CE=2a，得出EF：CE=DE：CD，证出△CEF∽△CDE，得出∠FCE=∠DCE，得出CE平分∠DCF，②正确； 由∠B+∠CEF=180°，得出B、C、E、F四个点在同一个圆上，③正确； 由△DCE是直角三角形，得出外接圆的圆心是斜边CE的中点，CE是直径，由EF⊥CE，得出直线EF是△DCE的外接圆的切线，④正确． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠D=90°， ∵E是AD的中点， ∴AE=DE， ∵BF=3AF， 设AF=a，则BF=3a，AB=BC=CD=AD=4a， ∵AF：DE=1：2，AE：CD=1：2， ∴AE：DE=AE：CD， ∴△AEF∽△DCE， ∴①正确；∠AEF=∠DCE， ∵∠DEC+∠DCE=90°， ∴∠AEF+∠DEC=90°， ∴∠CEF=90°， ∵EF==a，CE==2a， ∴EF：CE=1：2=DE：CD， ∴△CEF∽△CDE， ∴∠FCE=∠DCE， ∴CE平分∠DCF， ∴②正确； ∵∠B=90°，∠CEF=90°， ∴∠B+∠CEF=180°， ∴B、C、E、F四个点在同一个圆上， ∴③正确； ∵△DCE是直角三角形， ∴外接圆的圆心是斜边CE的中点，CE是直径， ∵∠CEF=90°， ∴EF⊥CE， ∴直线EF是△DCE的外接圆的切线， ∴④正确， 正确的结论有4个．故选：D． 【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、四点共圆等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．

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