题目

已知抛物线的方程为x2=2py(p＞0),过点P(0,p)的直线l与抛物线相交于A、B两点,分别过点A、B作抛物线的两条切线l1和l2,记l1和l2相交于点M.(1)证明直线l1和l2的斜率之积为定值;(2)求点M的轨迹方程. 答案：(1)解：依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+p,将其代入x2=2py,消去y整理，得x2-2pkx-2p2=0. 设A，B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=-2p2. 将抛物线的方程改写为y=x2,求导得y′=x.所以过点A的切线l1的斜率是k1=,过点B的切线l2的斜率是k2=,故k1k2==-2,所以直线l1和l2的斜率之积为定值-2. (2)解：设M(x,y).因为直线l1的方程为y-y1=k1(x-x1),即y(x-x1),同理,直线l2的方程为y(x-x2),联立这两个方程,消去y，得=(x-x2)(x-x1),整理，得(x1-x2)(x)=0,注意到x1≠x2,所以x=. 此时y=+(x-x1)=+(-x1)==-p. 由(1)知，x1+x2=2pk,所以x==pk∈R.所以点M的轨迹方程是y=-p.

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