题目

（08年龙岩一中冲刺文）（分）已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，右准线为一条渐近线的方程是过双曲线C的右焦点F2的一条弦交双曲线右支于P、Q两点，R是弦PQ的中点.   （1）求双曲线C的方程；   （2）若A、B分别是双曲C上两条渐近线上的动点，且2|AB|=|F1F2|，求线段AB的中点M的迹方程，并说明该轨迹是什么曲线。   （3）若在双曲线右准线L的左侧能作出直线m:x=a，使点R在直线m上的射影S满足，当点P在曲线C上运动时，求a的取值范围.p{font-size:10.5pt;line-height:150%;margin:0;padding:0;}td{font-size:10.5pt;} 答案：解析：（1）设双曲线C的方程为，则它的右准线方程为已知得=1，则=1，所以所求双曲线C的方程是………………4分（2）设A（x1,x2）、B（x1、x2）、M（x,y）则因为双曲线C的近线方程为所以故又2|AB|=所以|AB|=即             ………………7分即即 所以………………7分所以点M的轨迹中心在原点，焦点在y轴上，长轴长为6，短轴长为2的椭圆（3）因为点R在直线m上的射影S满足所以PS⊥QS，即△PSQ是直角三角形.所以点R到直线m:x=的距离为|RS|=即……………………①又………………9分所以|PQ|=|PF2|+|F2Q|=2（xP+xQ－1）=4xR－2……………………②将②代入①，得………………10分又P、Q是过右焦点F2的一条弦，且P、Q均在双曲线C的右支上，R是弦PQ的中点.所以 故所求a的取值范围是a≤－1. ………………12分p{font-size:10.5pt;text-align:left;line-height:150%;margin:0;padding:0;}td{font-size:10.5pt;text-align:left;}

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