题目

如图，椭圆长轴端点为点A、B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且·＝1，| |＝1. (1)求椭圆的标准方程； (2)记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P、Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由. 答案：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 由题意知c＝1，又·＝1， 即(a＋c)·(a－c)＝a2－c2＝1，∴a2＝2，∴b2＝1， ∴椭圆方程为＋y2＝1. (2)假设存在直线l交椭圆于P、Q两点，且F恰为△PQM的垂心，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， ∵M(0,1)，F(1,0)，∴kPQ＝1， 于是设直线l为y＝x＋m，由 得3x2＋4mx＋2m2－2＝0. ∵·＝0＝x1(x2－1)＋y2(y1－1)＝x1(x2－1)＋(x2＋m)(x1＋m－1)＝0. 即2x1x2＋(x1＋x2)(m－1)＋m2－m＝0， 由根与系数的关系得 2·－(m－1)＋m2－m＝0， 解得m＝－或m＝1， Δ＝－8m2＋24，当m＝－时，满足Δ>0，∴m＝－，而m＝1时，直线l经过M点，不符合题意，∴l的方程为y＝x－.

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