题目
如图,已知一次函数y1=kx+b图象与x轴相交于点A,与反比例函数的图象相交于B(﹣1,5)、C(,d)两点.点P(m,n)是一次函数y1=kx+b的图象上的动点. (1)求k、b的值; (2)设﹣1<m<,过点P作x轴的平行线与函数的图象相交于点D.试问△PAD的面积是否存在最大值?若存在,请求出面积的最大值及此时点P的坐标;若不存在,请说明理由; (3)设m=1﹣a,如果在两个实数m与n之间(不包括m和n)有且只有一个整数,求实数a的取值范围.
答案:【考点】反比例函数综合题. 【专题】压轴题. 【分析】(1)B、C两点在反比例函数图象上,根据反比例函数图象上点的横纵坐标的积相等,可求d的值,将B、C两点坐标代入y1=kx+b中,列方程组可求k、b的值; (2)存在,根据直线解析式可求A点坐标,点P在直线上,点P(,n),PD∥x轴,则D、P的纵坐标都是n,此时,D(﹣,n),则PD=+,由S=•n•PD,可求△PAD的面积表达式,利用二次函数的性质求最大值; (3)点P(m,n)在一次函数图象上,由一次函数解析式可知,设m=1﹣a,则P(1﹣a,2a+1),依题意m≠n,可知a≠0,根据a>0和a<0两种情况,分别求实数a的取值范围. 【解答】解:(1)将B点的坐标代入y2=,得c=﹣5, 则y2=﹣, 把x=代入得y=﹣2, 则C(,﹣2) 将B、C代入直线y1=kx+b得:; (2)存在. 令y1=0,x=,则A的坐标是:(,0); 由题意,点P在线段AB上运动(不含A,B), 设点P(,n), ∵DP平行于x轴, ∴D、P的纵坐标都是n, ∴D的坐标是:(﹣,n), ∴S=•n•PD=(+)×n=﹣(n﹣)2+; 而﹣2m+3=n,得0<n<5; 所以由S关于n的函数解析式,所对应的抛物线开口方向决定,当n=,即P(,),S的最大值是:. (3)由已知P(1﹣a,2a+1),易知,m≠n,1﹣a≠2a+1,a≠0; 若a>0,m<1<n,由题设m≥0,n≤2, 则, 解不等式组的解集是:0<a≤; 若a<0,n<1<m,由题设n≥0,m≤2, 则, 解得:﹣≤a<0; 综上:a的取值范围是:﹣≤a<0,0<a≤. 【点评】本题考查了反比例函数的综合运用.关键是根据反比例函数图象上点的横纵坐标积相等求C点坐标,由“两点法”求直线解析式,根据平行于x轴直线上点的坐标特点,表示三角形的面积,根据二次函数的性质求最大值,本题还考查了分类讨论的思想.