题目

如图，已知一次函数y1=kx+b图象与x轴相交于点A，与反比例函数的图象相交于B（﹣1，5）、C（，d）两点．点P（m，n）是一次函数y1=kx+b的图象上的动点． （1）求k、b的值； （2）设﹣1＜m＜，过点P作x轴的平行线与函数的图象相交于点D．试问△PAD的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设m=1﹣a，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值范围．   答案：【考点】反比例函数综合题． 【专题】压轴题． 【分析】（1）B、C两点在反比例函数图象上，根据反比例函数图象上点的横纵坐标的积相等，可求d的值，将B、C两点坐标代入y1=kx+b中，列方程组可求k、b的值； （2）存在，根据直线解析式可求A点坐标，点P在直线上，点P（，n），PD∥x轴，则D、P的纵坐标都是n，此时，D（﹣，n），则PD=+，由S=•n•PD，可求△PAD的面积表达式，利用二次函数的性质求最大值； （3）点P（m，n）在一次函数图象上，由一次函数解析式可知，设m=1﹣a，则P（1﹣a，2a+1），依题意m≠n，可知a≠0，根据a＞0和a＜0两种情况，分别求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）将B点的坐标代入y2=，得c=﹣5， 则y2=﹣， 把x=代入得y=﹣2， 则C（，﹣2） 将B、C代入直线y1=kx+b得：；   （2）存在． 令y1=0，x=，则A的坐标是：（，0）； 由题意，点P在线段AB上运动（不含A，B）， 设点P（，n）， ∵DP平行于x轴， ∴D、P的纵坐标都是n， ∴D的坐标是：（﹣，n）， ∴S=•n•PD=（+）×n=﹣（n﹣）2+； 而﹣2m+3=n，得0＜n＜5； 所以由S关于n的函数解析式，所对应的抛物线开口方向决定，当n=，即P（，），S的最大值是：．   （3）由已知P（1﹣a，2a+1），易知，m≠n，1﹣a≠2a+1，a≠0； 若a＞0，m＜1＜n，由题设m≥0，n≤2， 则， 解不等式组的解集是：0＜a≤； 若a＜0，n＜1＜m，由题设n≥0，m≤2， 则， 解得：﹣≤a＜0； 综上：a的取值范围是：﹣≤a＜0，0＜a≤． 【点评】本题考查了反比例函数的综合运用．关键是根据反比例函数图象上点的横纵坐标积相等求C点坐标，由“两点法”求直线解析式，根据平行于x轴直线上点的坐标特点，表示三角形的面积，根据二次函数的性质求最大值，本题还考查了分类讨论的思想．

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