题目

已知数列{an}、{bn}与函数f(x)、g(x),x∈R满足条件:b1=b,an=f(bn)=g(bn+1)(n∈N*).若函数y=f(x)为R上的增函数,g(x)=f-1(x),b=1,f(1)＜1,证明对任意的n∈N*,an+1＜an. 答案：证明：因为g(x)=f-1(x),所以an=g(bn+1)=f-1(bn+1),即bn+1=f(an).下面用数学归纳法证明an+1＜an(n∈N*).(1)当n=1时,由f(x)为增函数,且f(1)＜1,得a1=f(b1)=f(1)＜1,b2=f(a1)＜f(1)＜1,a2=f(b2)＜f(1)=a1,即a2＜a1,结论成立.(2)假设n=k时结论成立,即ak+1＜ak.由f(x)为增函数,得f(ak+1)＜f(ak),即bk+2＜bk+1,进而得f(bk+2)＜f(bk+1),即ak+2＜ak+1.这就是说当n=k+1时,结论也成立.根据(1)和(2),可知对任意的n∈N*,an+1＜an.

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