题目

如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为点A（1，0）和点C（﹣3，0），与y轴的交点为点B（0，3）． （1）求抛物线关系式．（最后结果写成y=ax2+bx+c的形式） （2）若顶点为点D，连接CD、CB，在x轴上取一动点P（m，0），m的取值范围是﹣3＜m＜﹣1，过点P作x轴的垂线，分别交CD、CB于点F、E，连接BF． ①判断EF与EP的长度关系，并说明理由． ②在点P运动过程中，△BEF可以为等腰三角形吗？求m的值；若不能，说明理由． 答案：【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）①首先利用待定系数法求得直线BC和CD的解析式，则EF和EP的长可以利用m表示出来，从而证得； ②利用m表示出△BEF的三边长，然后分成三种情况讨论，解方程求解即可． 【解答】解：（1）根据题意得：， 解得：， 则抛物线的解析式是y=﹣x2﹣2x+3； （2）①EF=EP． 理由是：y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4， 则D的坐标是（﹣1，4）． 设直线BC的解析式是y=kx+b，则， 解得：， 则直线BC的解析式是y=x+3． 同理，直线CD的解析式是y=2x+6． ∵动点P（m，0）在x轴上，﹣3＜m＜﹣1，且PF⊥x轴． ∴点E（m，m+3），点F（m，2m+6），即PE=m+3，PF=2m+6．EF=PF﹣PE=（2m+6）﹣（m+3）=m+3． ∴EF=EP； ②点E（m，m+3），点F（m，2m+6），点B（0，3），﹣3＜m＜﹣1． 若△BEF为等腰三角形时，分成三种情况讨论． 1）当BF=EF时，则=m+3， 解得：m=﹣或0（舍去）； 2）当BF=BE时， =， 解得：m=﹣1（舍去）或﹣3（舍去）； 3）当EF=BE时，则=m+3，解得m=3+3（舍去）或3﹣3． 总上所述，符合要求的m的值有2个，分别是﹣和3﹣3．

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