题目

（14分）如图所示，光滑水平面右端B处连接一个竖直的半径为R的光滑半圆轨道，B点为水平面与轨道的切点，在离B距离为x的A点，用水平恒力将质量为m的质点从静止开始推到B处后撤去恒力，质点沿半圆轨道运动到C处后又正好落回A点： （1）求推力对小球所做的功。 （2）x取何值时，完成上述运动推力所做的功最少？最小功为多少。 （3）x取何值时，完成上述运动推力最小？最小推力为多少。 答案：（14分）解： (1)质点从半圆弧轨道做平抛运动又回到A点，设质点在C点的速度为vC，质点从C点运动到A点所用的时间为t， 在水平方向：  x=vCt                               （1分） 竖直方向上：2R=gt2                                           （1分） 解得   vC=                          （1分）        对质点从A到C由动能定理有 WF-mg·2R=mv                            （2分）       解WF=mg(16R2+x2)/8R                         （1分）      (2)要使F力做功最少，确定x的取值，由WF=2mgR+mv知，只要质点在C点速度最小，则功WF就最小。若质点恰好能通过C点，其在C点最小速度为v，由牛顿第二定律有 mg=,则v=                              （2分）        有=,解得：x=2R                （1分）       当x=2R时， WF最小，最小的功：WF=mgR        （1分） (3)由WF=mg() 及WF=F x       得：F=mg()      （2分）                                                         F 有最小值的条件是： =、即x=4R                      （1分） 得最小推力为：F=mg                                   （1分）

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